【分數階傅裡葉變換及其應用】

【編輯推薦】

本書內容依託國家重點一級學科、國家級一流專業建設，圍繞訊號與資訊處理領域的關鍵科學問題，以國家重大戰畧需求為導向展開。

從基礎、應用基礎、應用三個層面，深入系統地介紹分數階傅裡葉變換的基礎理論及其在探測、通信、光學、高光譜等領域的前沿應用。

論述翔實，層次清晰，圖文並茂，含有大量模擬示例，對重要的知識點既有詳盡的公式推導，又有合理充分的物理解釋，方便讀者理解。

內容系統全面，知識體系完備，適合作為相關研究人員和工程技術人員的學習資料，以及高等院校和科研院所線上/線下課程的輔助教材。

配套學堂線上慕課、教學視頻、PPT課件、實驗講義、MATLAB原始程式碼等豐富教學資源，掃碼即可獲取，便於課堂教學和課後自學。

【內容簡介】

本書主要介紹分數階傅裡葉變換的發展歷程、定義及性質，基於分數階傅裡葉變換的分數階運算元和分數階變換，分數階傅裏葉域濾波器、以及線性調頻訊號的檢測和參數估計問題； 分數階傅裏葉域離散信號處理理論，包括分數階傅裡葉變換的離散算灋、分數階傅裏葉域的採樣以及多抽樣率濾波器組理論； 分數階傅裏葉域隨機信號處理理論； 分數階傅裡葉變換在陣列信號處理、雷達、通信和圖像處理中的應用； 分數階傅裡葉變換的廣義形式——線性正則變換。 本書可以作為相關研究人員的工具書和感興趣讀者的入門書籍，同時也是慕課“分數域訊號與資訊處理及其應用”的配套教材。

【作者簡介】

陶然，北京理工大學教授、博士生導師，北京市教學名師。 長江學者特聘教授、國家傑出青年科學基金得主、新世紀百千萬人才工程人選。 國家自然科學基金創新研究群體帶頭人、教育bu創新團隊帶頭人、北京市自然科學基金優秀團隊帶頭人、“全國高校黃大年式教師團隊”核心成員、教育bu高等學校電工電子基礎課程教學指導分委員會委員。 長期從事訊號與資訊處理研究，主持國家自然科學基金委創新研究群體項目、重大儀器項目、重點專案、軍委科技委基礎加强重點專案等。 發表SCI論文200餘篇，授權發明專利90餘項，出版教材、著作7部，含北京市高等教育精品教材1部。 獲教育bu自然科學一等獎1項、教育bu科技進步一等獎2項、中國電子學會科技發明一等獎1項、國家教學成果二等獎1項、一流本科課程1項、北京市教學成果一等獎和特等獎提名各1項。 主講大學生課程“信號處理理論與科技I、II、III”和研究生課程“分數域信號處理及其應用”，均入選教育bu線上教育研究中心2022“拓金計畫”； “分數域訊號與資訊處理及其應用”慕課已在“學堂線上”上線，累計學習人數2萬餘人。

馬金銘，2021年於北京理工大學獲博士學位，現為清華大學博士後。 主要研究方向是採樣、譜分析、分數階傅裡葉變換及其在雷達、通信中的應用。 獲《光電工程》年度優秀論文獎1項。

鄧兵，海軍航空大學教授、碩士生導師，海軍高層次科技人才。 1997年於海軍電子工程學院獲學士學位，2000年於海軍工程大學獲碩士學位，2006年於北京理工大學獲博士學位。 主要研究方向是非平穩信號處理及其在雷達、通信、電子對抗中的應用。 獲省部級一等獎2項、山東省普通高等教育一流教材1部、SCIENCE CHINA

【目錄】

第1章緒論

1.1分數階傅裡葉變換的發展歷程

1.2分數階傅裡葉變換在信號處理中的應用

1.2.1分數階傅裡葉變換的點

1.2.2相關應用

1.3本書的內容安排

參考文獻

第2章分數階傅裡葉變換定義及性質

2.1分數階傅裡葉變換的定義

2.1.1基本定義

2.1.2分數階傅裡葉變換的其他定義

2.2分數階傅裡葉變換的多樣性

2.2.1造成多樣性的因素

2.2.2分數階傅裡葉變換核函數

2.3分數階傅裡葉變換的性質

2.3.1基本性質

2.3.2不確定性準則

2.3.3高斯函數的分數階傅裡葉變換

2.3.4週期信號的分數階傅裡葉變換

2.3.5分數階傅裡葉變換矩

2.3.6分數階傅裡葉變換與時頻表示的關係

參考文獻

第3章分數階運算元及分數階變換

3.1分數階運算元

3.1.1分數階卷積

3.1.2分數階相關

3.1.3分數階酉運算元和Hermite運算元

3.2分數階變換

3.2.1分數階Hilbert變換

3.2.2分數階余弦變換、分數階正弦變換

3.2.3分數階Hartley變換

3.2.4分數階Gabor展開

3.2.5短時分數階傅裡葉變換

3.2.6分數階模糊函數、分數階Wigner分佈

3.2.7分數階小波包變換

3.3基於分數階傅裡葉變換的對偶轉換

3.3.1一般對偶運算元及其分數階版本

3.3.2離散運算元和週期運算元以及它們的分數階形式

參考文獻

第4章分數階傅裏葉域濾波與參數估計

4.1波形估計

4.2分數階傅裏葉域的時頻濾波

4.2.1線性調頻訊號的分數階傅裏葉域濾波

4.2.2多分量線性調頻訊號的檢測和參數估計

4.2.3掃頻濾波器在分數階傅裏葉域的實現及其推廣

4.2.4時頻濾波示例及誤差分析

4.3分數階傅裏葉域的濾波

4.3.1濾波

4.3.2多階濾波

4.3.3模擬結果

參考文獻

第5章離散算灋

5.1採樣型離散分數階傅裡葉變換

5.1.1Ozaktas採樣型離散分數階傅裡葉變換

5.1.2Pei採樣型離散分數階傅裡葉變換

5.1.3稀疏離散分數階傅裡葉變換

5.2征分解型離散分數階傅裡葉變換

5.2.1傅裡葉變換的征值與征函數

5.2.2離散傅裡葉變換矩陣的征值

5.2.3離散傅裡葉變換矩陣的Hermite征向量

5.2.4離散分數階傅裡葉變換核矩陣

5.2.5基於F可交換矩陣的離散分數階傅裡葉變換

5.2.6基於採樣HermiteGaussian函數的離散分數階傅裡葉變換

5.3線性加權型離散分數階傅裡葉變換

5.3.1基於離散傅裡葉變換的線性組合

5.3.2基於離散分數階傅裡葉變換的線性組合

5.4殊的離散分數階傅裡葉變換

5.4.1ZoomFRFT

5.4.2單點快速計算

5.5其他離散分數階變換

參考文獻

第6章採樣

6.1均勻採樣

6.1.1分數階傅裏葉域均勻採樣定理

6.1.2分數階傅裏葉域數位頻率

6.1.3離散時間分數階傅裡葉變換和分數階傅裡葉級數

6.1.4分數階圓周卷積

6.1.5分數階傅裏葉域分辯率

6.1.6對chirp類訊號的採樣

6.2隨機非均勻採樣

6.2.1非均勻採樣的一般理論

6.2.2隨機非均勻採樣模型

6.2.3隨機非均勻採樣訊號的分數階傅立葉譜重建及誤差分析

6.3週期非均勻採樣

6.3.1週期非均勻採樣模型

6.3.2週期非均勻採樣訊號的分數階傅立葉譜分析與重建

6.3.3週期隨機非均勻採樣訊號的分數階傅立葉譜分析與重建

6.4多通道採樣

6.4.1分數階傅裏葉域多通道採樣定理

6.4.2分數階傅裏葉域多通道採樣的濾波器組高效實現

6.4.3分數階差分採樣和非均勻採樣濾波器組

參考文獻

第7章分數階傅裏葉域多取樣速率濾波器組理論

7.1分數階傅裏葉域L倍取樣速率轉換分析

7.1.1分數階傅裏葉域內插分析

7.1.2L倍取樣速率轉換的分數階傅裏葉域分析

7.1.3分數階傅裏葉域L倍內插恒等關係

7.2分數階傅裏葉域1/M倍取樣速率轉換分析

7.2.1分數階傅裏葉域抽取分析

7.2.21/M倍取樣速率轉換的分數階傅裏葉域分析

7.2.3分數階傅裏葉域M倍抽取恒等關係

7.3分數階傅裏葉域有理數倍取樣速率轉換分析

7.4分數階傅裏葉域訊號多相結構及其應用

7.4.1分數階傅裏葉域訊號多相結構

7.4.2分數階傅裏葉域訊號多相結構的應用

7.5分數階傅裏葉域M通道濾波器組

7.5.1分數階傅裏葉域M通道濾波器組的基本關係

7.5.2分數階傅裏葉域M通道準確重建濾波器組的設計方法

7.5.3分數階傅裏葉域兩通道濾波器組

參考文獻

第8章分數階傅裏葉域隨機信號處理

8.1隨機信號通過分數階傅裏葉域濾波器的統計性分析

8.1.1確定訊號通過分數階傅裏葉域濾波器輸入/輸出基本關係

8.1.2隨機信號通過分數階傅裏葉域濾波器的統計性

8.2分數階功率譜

8.2.1分數階功率譜的定義

8.2.2分數階傅裏葉域濾波器的輸入/輸出分數階功率譜關係

8.2.3分數階白色雜訊

8.2.4chirp平穩隨機過程

8.3chirp迴圈平穩隨機過程分析與處理

8.3.1chirp迴圈平穩隨機過程定義

8.3.2chirp迴圈平穩隨機過程的二階統計量分析

8.4應用

8.4.1多分量chirp訊號檢測和參數估計

8.4.2分數階傅裏葉域系統辨識

8.4.3chirp循環系統辨識

參考文獻

第9章分數階傅裏葉域陣列信號處理

9.1基於分數階傅裡葉變換的波束形成

9.1.1波束形成簡介

9.1.2基於分數階傅裡葉變換的均方誤差最小波束形成

9.1.3基於分數階傅裡葉變換的線性約束最小方差波束形成

9.2基於分數階傅裡葉變換的波達方向估計

9.2.1基於分數階傅裡葉變換的寬帶線性調頻訊號一維波達方向估計

9.2.2基於分數階傅裡葉變換的寬帶線性調頻訊號二維波達方向估計

9.2.3效能分析

參考文獻

第10章在雷達中的應用

10.1分數階模糊函數

10.1.1基於波動方差的相關接收模型

10.1.2分數階寬帶和窄帶模糊函數

10.2基於分數階傅裡葉變換的動目標檢測

10.2.1基本原理

10.2.2基於分數階傅裡葉變換的長時間相參積累動目標檢測

10.2.3模擬

10.3在合成孔徑雷達成像雷達中的應用

10.3.1檢測運動目標

10.3.2基於分數階傅裡葉變換的chirp scaling成像算灋

10.4在目標識別中的應用

10.4.1HFT的性質

10.4.2優化參數的求取

10.4.3實例

10.5在脫靶量量測中的應用

10.5.1原理

10.5.2算灋步驟

10.5.3模擬

參考文獻

第11章在通信中的應用

11.1基於分數階傅裡葉變換的二進位chirprate調製/解調科技

11.1.1chirprate調製/解調原理

11.1.2調製/解調訊號模型

11.1.3離散化處理

11.1.4與匹配濾波解調的性能對比

11.1.5模擬

11.2單載波分數階傅裏葉域均衡科技

11.2.1分數階卷積通道模型

11.2.2單載波分數階傅裏葉域均衡科技

11.2.3模擬結果

11.3分數階傅裏葉域內的多工

11.4基於分數階傅裡葉變換的多載波系統

11.4.1FRFTOFDM系統結構

11.4.2FRFTOFDM系統變換階次選取方法

11.4.3FRFTOFDM系統通道估計方法

11.4.4FRFTOFDM系統通道均衡方法

11.5chirp基多載波實體層安全訊號設計及處理科技

11.5.1系統模型

11.5.2變換階次的實體層保密共亯

11.5.3安全編碼多階次FRFTOFDM訊號設計

11.6基於分數階傅裡葉變換的MIMOOFDM系統

11.6.1分數階傅裡葉變換的矩陣表示

11.6.2基於分數階傅裡葉變換的MIMOOFDM系統模型

11.6.3階次

11.6.4模擬

參考文獻

第12章在圖像處理中的應用

12.1二維分數階傅裡葉變換

12.2圖像復原與識別

12.2.1影像去噪

12.2.2影像重構

12.2.3圖像識別

12.3數字浮水印

12.3.1基於離散分數階傅裡葉變換的魯棒高斯浮水印

12.3.2基於離散分數階傅裡葉變換的多分量chirp類浮水印

12.3.3多分數階傅裏葉域的chirp類浮水印算灋

12.4影像加密

12.4.1基於傅裡葉變換的雙相位編碼影像加密

12.4.2基於分數階傅裡葉變換的影像加密

12.4.3基於保實分數階傅裡葉變換的數位圖像實值加密

12.5光學實現及應用

12.5.1分數階傅裡葉變換的光學實現

12.5.2單幅閉合條紋圖分數階傅裏葉域分析及其應用

12.5.3分數階傅裏葉域光學相干層析成像色散補償科技

12.6分數階傅裏葉域高光譜信號處理

12.6.1基於分數階傅裡葉變換及分數階傅立葉熵值的高光譜

异常檢測

12.6.2基於多分數階Gabor變換的高光譜與雷射雷達協同分類

方法

參考文獻

第13章線性正則變換

13.1線性正則變換的定義及性質

13.1.1定義

13.1.2性質

13.1.3線性正則變換的征函數

13.1.4卷積定理

13.2線性正則變換域框架理論

13.2.1WH框架

13.2.2無量綱化處理

13.2.3主要結論

13.3線性正則變換域的Hilbert變換

13.4線性正則變換的離散實現

13.4.1線性正則變換域帶限訊號採樣定理

13.4.2線性正則變換的離散形式

13.5線性正則變換的應用

13.5.1濾波器設計

13.5.2用於通信訊號的調製及抗多徑效應

附錄A常見訊號的線性正則變換

附錄B一些常見訊號的離散線性正則變換

參考文獻

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【快速傅裡葉變換：算灋與應用】

內容提要

本書深入淺出地闡述了快速傅裡葉變換（FFT）的原理，系統地總結了各類FFT算灋，並廣泛精闢地介紹了FFT在視頻和音訊信號處理中的各種應用。 本書在闡述了離散傅裡葉變換（DFT）的原理和性質之後，詳細討論了時域抽取（DIT）和頻域抽取（DIF）的各類快速算灋。 論述了近似計算DFT的整數FFT、二維及多元訊號FFT、非均勻DFT等原理和科技。 本書還詳細討論了FFT的應用，給出了大量案例，並且附有小結、習題，還附有課程實踐和參考文獻。

目錄

譯者序

原書前言

本書結構

縮略語

第1章簡介1

1.1離散傅裡葉變換的應用1

第2章離散傅裡葉變換4

2.1定義4

2.1.1 DFT 4

2.1.2 IDFT 4

2.1.3歸一化DFT 4

2.2 Z變換6

2.3 DFT的性質11

2.4卷積定理16

2.4.1乘積定理21

2.5相關性定理21

2.6重疊相加和重疊保留法24

2.6.1重疊相加法24

2.7數據域的補零27

2.8使用一次複數FFT計算兩個實序列的DFT 30

2.9利用DFT矩陣將迴圈矩陣對角化30

2.9.1托普利茨（Toeplitz）矩陣30

2.9.2迴圈矩陣31

2.9.3利用DFT矩陣將迴圈矩陣對角化31

2.10小結33

2.11習題33

2.12課程實踐36

第3章快速算灋37

3.1基-2 DIT-FFT算灋37

3.1.1 N =8時IFFT的疏鬆陣列因數42

3.2基於疏鬆陣列因式分解的快速算灋44

3.3基-2 DIF-FFT 51

3.3.1 N =8時的DIF-FFT 52

3.3.2原位計算56

3.4基-3 DIT-FFT 56

3.5基-3 DIF-FFT 57

3.6 N為合數時的FFT 59

3.7基-4 DIT-FFT 60

3.8基-4 DIF-FFT 66

3.9分裂基FFT算灋69

3.10用矩陣分割科技實現快速傅裡葉變換（FFT）和快速二進位傅立葉表示（BIFORE）變換70

3.10.1矩陣分割科技71

3.10.2 DFT算灋72

3.10.3 BIFORE變換（BT）74

3.10.4複BIFORE變換（CBT）75

3.10.5疏鬆陣列因式分解（SMF）75

3.11威諾格拉德傅裡葉變換算灋75

3.11.1 5點DFT 75

3.11.2 7點DFT 76

3.11.3 9點DFT 77

3.11.4輸入為實序列時的DFT算灋78

3.11.5威諾格拉德短NDFT模塊79

3.11.6素因數映射索引81

3.11.7威諾格拉德傅裡葉變換算灋（WFTA）83

3.12 DFT矩陣的稀疏分解84

3.12.1使用複數旋轉進行DFT矩陣的稀疏分解84

3.12.2利用酉矩陣進行DFT矩陣的稀疏分解85

3.13統一離散傅立葉-哈特雷變換87

3.13.1 UDFHT的快速結構91

3.14 Bluestein FFT算灋93

3.15 Rader質數算灋95

3.16小結96

3.17習題97

3.18課程實踐99

第4章整數快速傅裡葉變換100

4.1介紹100

4.2提升科技100

4.3算灋101

4.3.1定點運算的實現105

4.4整數離散傅裡葉變換107

4.4.1近整數DFT 107

4.4.2整數DFT 108

4.4.3能量守恒110

4.4.4迴圈移位110

4.5小結112

4.6習題112

4.7課程實踐112

第5章二維離散傅裡葉變換113

5.1定義113

5.2性質116

5.2.1週期性116

5.2.2共軛對稱116

5.2.3時域/空域的迴圈移位（週期性移位）117

5.2.4頻域的迴圈移位（週期性移位）117

5.2.5斜特性119

5.2.6旋轉性120

5.2.7帕斯瓦爾定理120

5.2.8卷積定理120

5.2.9相關定理122

5.2.10空域微分122

5.2.11頻域微分123

5.2.12拉普拉斯運算元123

5.2.13矩形方程123

5.3二維濾波124

5.3.1逆高斯濾波器（IGF）126

5.3.2根濾波器127

5.3.3同態濾波129

5.3.4範圍壓縮130

5.3.5高斯低通濾波器131

5.4逆濾波和維納濾波131

5.4.1維納濾波器133

5.4.2幾何平均濾波器（GMF）135

5.5三維DFT 136

5.5.1三維DFT 136

5.5.2三維IDFT 136

5.5.3三維座標136

5.5.4三維DFT 136

5.5.5三維IDFT 136

5.6一維DFT域的方差分佈137

5.7酉變換下的方差和不變138

5.8二維DFT域的方差分佈138

5.9基於變換係數方差的量化140

5.10方差區域採樣（MVZS）144

5.11幾何區域採樣（GZS）145

5.12小結151

5.13習題151

5.14課程實踐151

第6章向量基二維FFT算灋161

6.1向量基DIT-FFT 161

6.2向量基DIF-FFT 164

6.3小結168

第7章非均勻離散傅裡葉變換169

7.1簡介169

7.2一維非均勻離散傅裡葉變換（NDFT）169

7.2.1均勻採樣序列的離散傅裡葉變換169

7.2.2非均勻離散傅裡葉變換的定義171

7.2.3 NDFT的性質173

7.2.4 NDFT-2示例175

7.3 NDFT的快速算灋180

7.3.1前向NDFT 180

7.3.2 NDFT的逆變換（INDFT）184

7.4二維NDFT 188

7.4.1二維採樣結構188

7.4.2二維非均勻矩形採樣的例子191

7.5使用NDFT設計濾波器192

7.5.1低通濾波器的設計192

7.5.2非均勻低通濾波器的例子198

7.6小結201

7.7習題201

第8章應用203

8.1頻域下採樣203

8.1.1頻域上採樣（零插入）206

8.2分形圖像壓縮207

8.3純相位相關211

8.4利用DFT/FFT實現影像的旋轉和平移213

8.5幀內錯誤隱藏216

8.6表面紋理分析216

8.7基於FFT的聽覺模型216

8.8影像浮水印218

8.9音訊浮水印219

8.9.1使用知覺掩蔽的音訊浮水印220

8.10正交頻分複用（OFDM）221

8.10.1使用IFFT/FFT表示OFDM訊號222

8.11 OFDM的FFT處理器223

8.12基於DF DFT的通道估計方法224

8.12.1基於DF DFT的通道估計方法225

8.13共軛梯度快速傅裡葉變換（CG-FFT）226

8.14改進型離散余弦變換（MDCT）226

8.15奇疊加TDAC 235

8.16感知變換音訊編碼器237

8.17 OCF編碼器238

8.18 NMR評估系統239

8.19移動接收音訊編碼器240

8.20高品質音樂訊號的自我調整功率譜感知熵編碼（ASPEC）241

8.21殘差激勵線性預測（RELP）聲碼器242

8.22同態聲碼器243

8.23掩蔽模式通用子帶集成編碼與複用（MUSICAM）243

8.24 AC-2音訊編碼器245

8.25利用IFFT實現IMDCT/IMDST 246

8.26利用IFFT實現MDCT/MDST 249

8.27自相關函數和功率譜密度250

8.27.1濾波白色雜訊251

8.28三維人臉識別252

8.29二維多取樣速率處理254

8.29.1上採樣與內插254

8.29.2下採樣和抽取257

8.30快速均勻離散曲波（curvelet）變換（FUDCuT）261

8.30.1 Radon變換262

8.30.2脊波（ridgelet）變換262

8.30.3曲波（curvelet）變換263

8.31習題271

8.32課程實踐274

8.32.1方向帶通濾波器275

附錄277

附錄A各種離散變換的性能對比277

A.1變換編碼增益277

A.2變換域中的方差分佈278

A.3規範化的MSE 279

A.4碼率與失真（率失真）279

A.5剩餘相關280

A.6標量維納濾波281

A.7幾何區域採樣（GZS）282

A.8方差區域採樣（MVZS）282

附錄B圖像品質的譜距離評估法283

B.1課程實踐285

附錄C整數離散余弦變換（Int DCT）288

C.1提升結構的整數DCT 288

C.1.1利用沃爾什-哈達瑪變換分解DCT 289

C.1.2整數DCT的實現292

C.2利用二元對稱性原理實現整數DCT 293

C.2.1產生8點整數DCT 293

C.2.2視頻編碼標準中的整數DCT 294

C.2.3 8點整數DCT效能298

C.3習題300

C.4課程實踐301

附錄D DCT和DST 302

D.1 DCT和DST的核302

D.2酉DCT和DST的推導304

D.3用DCT和DST代替FFT的迴圈卷積311

D.4 DCT的迴圈移位特性312

D.5習題313

D.6課程實踐313

附錄E克羅內克乘積與可分離性314

E.1克羅內克乘積314

E.2廣義克羅內克乘積315

E.3可分離變換3315

附錄F數學關係317

F.1習題318

附錄G MATLAB基礎319

G.1 MATLAB相關網站清單325

G.1.1 MATLAB教程325

G.1.2 MATLAB命令和函數325

G.1.3 MATLAB概要和教程325

G.1.4 MATLAB初級讀本325

G.1.5 MATLAB常見問題解答（FAQ）325

G.2 MATLAB相關參考文獻326

附錄H MATLAB程式示例328

H.1 15點的WFTA的MATLAB程式碼328

H.2純相位相關的MATLAB程式碼330

參考文獻332